Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа № 7 имени А.Н. Пахмутовой Дзержинского района
Волгограда»

РАССМОТРЕНО

СОГЛАСОВАНО

УТВЕРЖДЕНО

на заседании кафедры
физико-математического
образования
________________________
А.Н.Панчишкина
Протокол № 1 от 29.08.2025
г.

Заместитель директора по
УВР

Директор

________________________
Ю.В. Моисеева
01.09.2025 г.

________________________
Г.И. Попова
Приказ от 01.09.2025 г.
№193

ПРИЛОЖЕНИЕ К ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Рабочая программа учебного предмета
«Математика. Модуль “Вероятность и статистика”»
(углубленный уровень)

Класс: 10-11
Учебный год: 2025/2026
Рабочая программа
составлена на основе Конструктора рабочих программ

г. Волгоград, 2025

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублённого уровня является
продолжением и развитием одноименного учебного курса углублённого уровня
на уровне среднего общего образования. Учебный курс предназначен для
формирования у обучающихся статистической культуры и понимания роли
теории вероятностей как математического инструмента для изучения случайных
событий, величин и процессов. При изучении курса обогащаются представления
обучающихся о методах исследования изменчивого мира, развивается понимание
значимости и общности математических методов познания как неотъемлемой
части современного естественно-научного мировоззрения.
Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний,
полученных при изучении курса на уровне основного общего образования, и на
развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между ними на
важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В
результате у обучающихся должно сформироваться представление о наиболее
употребительных и общих математических моделях, используемых для описания
антропометрических и демографических величин, погрешностей в различные
рода измерениях, длительности безотказной работы технических устройств,
характеристик массовых явлений и процессов в обществе. Учебный курс является
базой для освоения вероятностно-статистических методов, необходимых
специалистам не только инженерных специальностей, но также социальных и
психологических, поскольку современные общественные науки в значительной
мере используют аппарат анализа больших данных. Центральную часть учебного
курса занимает обсуждение закона больших чисел – фундаментального закона
природы, имеющего математическую формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса
«Вероятность и статистика» на углублённом уровне выделены основные
содержательные линии: «Случайные события и вероятности» и «Случайные
величины и закон больших чисел».
Помимо основных линий в учебный курс включены элементы теории
графов и теории множеств, необходимые для полноценного освоения материала
данного учебного курса и смежных математических учебных курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой
для формирования представлений о распределении вероятностей между
значениями случайных величин. Важную часть в этой содержательной линии
занимает изучение геометрического и биномиального распределений и
знакомство с их непрерывными аналогами – показательным и нормальным
распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и
распределениями, акцентируют внимание обучающихся на описании и изучении
случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное внимание
уделяется показательному и нормальному распределениям.
В учебном курсе предусматривается ознакомительное изучение связи
между случайными величинами и описание этой связи с помощью коэффициента
корреляции и его выборочного аналога. Эти элементы содержания развивают
тему «Диаграммы рассеивания», изученную на уровне основного общего
образования, и во многом опираются на сведения из курсов алгебры и геометрии.
Ещё один элемент содержания, который предлагается на ознакомительном
уровне – последовательность случайных независимых событий, наступающих в
единицу времени. Ознакомление с распределением вероятностей количества

таких событий носит развивающий характер и является актуальным для
будущих абитуриентов, поступающих на учебные специальности, связанные с
общественными науками, психологией и управлением.
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» на углубленном
уровне отводится 68 часов: в 10 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 11 классе – 34
часа
(1
час
в
неделю).

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность)
вершины. Графы на плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и
вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными
событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые
события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Перестановки и
факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной
совокупности.
Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения. Операции над случайными величинами. Бинарная случайная
величина. Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное.
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые
случайные
величины.Математическое
ожидание
случайной
величины
(распределения).
Примеры
применения
математического
ожидания
(страхование, лотерея). Математическое ожидание бинарной случайной
величины.
Математическое
ожидание
суммы
случайных
величин.
Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия
и
стандартное
отклонение
случайной
величины
(распределения). Дисперсия бинарной случайной величины. Математическое
ожидание произведения и дисперсия суммы независимых случайных величин.
Дисперсия и стандартное отклонение биномиального распределения. Дисперсия
и стандартное отклонение геометрического распределения.
11 КЛАСС
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел. Выборочный метод исследований. Выборочные характеристики.
Оценивание вероятности события по выборочным данным. Проверка
простейших гипотез с помощью изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности
вероятности распределения. Равномерное распределение и его свойства. Задачи,
приводящие к показательному распределению. Задачи, приводящие к
нормальному распределению. Функция плотности вероятности показательного
распределения, функция плотности вероятности нормального распределения.
Функция плотности и свойства нормального распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи, приводящие
к распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной корреляции.
Совместные наблюдения двух величин. Выборочный коэффициент корреляции.

Различие между линейной связью и причинно-следственной связью. Линейная
регрессия,
метод
наименьших
квадратов.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ
И СТАТИСТИКА» (УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного члена российского общества, представление о математических
основах функционирования различных структур, явлений, процедур
гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение взаимодействовать с
социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание личного
вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость к
математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в интересах
здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к своему
здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха,
регулярная физическая активность), физическое совершенствование при
занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным
сферам профессиональной деятельности, связанным с математикой и её
приложениями, умение совершать осознанный выбор будущей профессии и
реализовывать собственные жизненные планы, готовность и способность к
математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни,
готовность к активному участию в решении практических задач математической
направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация на
применение математических знаний для решения задач в области окружающей
среды, планирование поступков и оценки их возможных последствий для
окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание математической

науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости
для развития цивилизации, овладение языком математики и математической
культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную и
исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать определения
понятий, устанавливать существенный признак классификации, основания для
обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в
фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно
выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать
искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию,
мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по
установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных
результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным
критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия

Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и
письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать
полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения,
сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога,
обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать
разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и
корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых
действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть способами
самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической
задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной деятельности,
планировать организацию совместной работы, распределять виды работ,
договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения
нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и координировать
свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада в
общий продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в
графе, цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт),
случайное событие, элементарное случайное событие (элементарный исход)
случайного опыта, находить вероятности событий в опытах с равновозможными
элементарными событиями;

находить и формулировать события: пересечение, объединение данных
событий, событие, противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера,
координатную прямую для решения задач, пользоваться формулой сложения
вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий;
оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей,
независимые события, дерево случайного эксперимента, находить вероятности
событий с помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать
формулу полной вероятности, формулу Байеса при решении задач, определять
независимость событий по формуле и по организации случайного эксперимента;
применять изученные комбинаторные формулы для перечисления
элементов множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач
по теории вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание),
успех и неудача, независимые испытания, серия испытаний, находить
вероятности событий: в серии испытаний до первого успеха, в серии испытаний
Бернулли, в опыте, связанном со случайным выбором из конечной совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина,
геометрическое, биномиальное распределение;
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных
величин, использовать таблицу совместного распределения двух случайных
величин для выделения распределения каждой величины, определения
независимости
случайных
величин;свободно
оперировать
понятием
математического ожидания случайной величины (распределения), применять
свойства математического ожидания при решении задач, вычислять
математическое ожидание биномиального и геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение
случайной величины, применять свойства дисперсии случайной величины
(распределения) при решении задач, вычислять дисперсию и стандартное
отклонение геометрического и биномиального распределений.
К концу 11 класса обучающийся научится:
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики
генеральной
совокупности
данных
по
выборочным
характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие
статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями;
приводить примеры задач, приводящих к показательному распределению,
задач, приводящих к нормальному распределению. Оперировать понятиями:
функция плотности вероятности показательного распределения, функция
плотности вероятности нормального распределения, функция плотности и
свойства нормального распределения;определять коэффициент линейной
корреляции,
выборочный
коэффициент
корреляции.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п/
п

Наименование
разделов и тем
программы

Количество часов
Всего

1

Элементы теории
графов

3

2

Случайные опыты,
случайные события и
вероятности
событий

3

3

Операции над
множествами и
событиями.
Сложение и
умножение
вероятностей.
Условная
вероятность.
Независимые
события

5

4

Элементы
комбинаторики

4

5

Серии
последовательных

5

Контрольные
работы

1

Практические
работы

Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы

испытаний.
Испытания
Бернулли.
Случайный выбор из
конечной
совокупности
6

Случайные величины
и распределения
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

14

1

34

2

0

11 КЛАСС
№
п/
п

Наименование
разделов и тем
программы

Количество часов
Всего

1

Закон больших
чисел

5

2

Элементы
математической
статистики

6

3

Непрерывные
случайные
величины
(распределения),
показательное и
нормальное
распределения

4

4

Распределение
Пуассона

2

5

Связь между
случайными
величинами

6

6

Обобщение и
систематизация
знаний

11

Контрольные
работы

1

Практические
работы

Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

34

1

0

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п
/
п

Количество часов
Тема урока

Всего

1

Граф, связный граф,
представление
задачи с помощью
графа

1

2

Степень
(валентность)
вершины. Путь в
графе. Цепи и
циклы

1

3

Графы на
плоскости. Дерево
случайного
эксперимента

1

4

Случайные
эксперименты
(опыты) и
случайные
события.

1

Контрольные
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы

Элементарные
события (исходы)

5

Вероятность
случайного
события.
Вероятности
событий в опытах с
равновозможными
элементарными
событиями

1

6

Вероятность
случайного
события.
Вероятности
событий в опытах с
равновозможными
элементарными
событиями

1

7

Пересечение,
объединение
множеств и
событий,
противоположные
события. Формула
сложения
вероятностей

1

8

Условная
вероятность.
Умножение
вероятностей.
Формула условной
вероятности

1

9

Условная
вероятность.
Умножение
вероятностей.
Формула условной
вероятности

1

10

Формула полной
вероятности

1

11

Формула Байеса.
Независимые
события

1

12

Комбинаторное
правило
умножения.
Перестановки и
факториал

1

13

Число сочетаний.
Треугольник
Паскаля

1

14

Формула бинома

1

Ньютона

15

Контрольная
работа №1: "Графы,
вероятности,
множества,
комбинаторика"

1

16

Бинарный
случайный опыт
(испытание), успех
и неудача.
Независимые
испытания. Серия
независимых
испытаний до
первого успеха

1

17

Серия независимых
испытаний до
первого успеха

1

18

Серия независимых
испытаний
Бернулли

1

19

Случайный выбор
из конечной
совокупности

1

20

Практическая
работа с

1

1

использованием
электронных
таблиц

21

Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения

1

22

Операции над
случайными
величинами.
Примеры
распределений.
Бинарная
случайная
величина

1

23

Геометрическое
распределение.
Биномиальное
распределение

1

24

Математическое
ожидание
случайной
величины.
Совместное

1

распределение двух
случайных величин

25

Независимые
случайные
величины. Свойства
математического
ожидания.
Математическое
ожидание
бинарной
случайной
величины

1

26

Математическое
ожидание
геометрического и
биномиального
распределений

1

27

Дисперсия и
стандартное
отклонение

1

28

Дисперсия
бинарной
случайной
величины. Свойства
дисперсии

1

29

Математическое

1

ожидание
произведения и
дисперсия суммы
независимых
случайных величин

30

Дисперсия
биномиального
распределения.
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц

1

31

Дисперсия и
стандартное
отклонение
геометрического
распределения. .
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц

1

32

Обобщение и
систематизация
знаний

1

33

Контрольная
работа №2:
"Испытания
Бернулли.
Случайные
величины и
распределения"

1

34

Обобщение и
систематизация
знаний

1

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

34

1

2

0

11 КЛАСС
№
п
/
п

Количество часов
Тема урока

Всего

1

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших чисел

1

2

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших чисел

1

3

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших чисел

1

4

Выборочный метод
исследований

1

5

Практическая работа с
использованием
электронных таблиц

1

6

Генеральная
совокупность и

1

Контрольные
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы

случайная выборка.
Знакомство с
выборочными
характеристиками.
Оценка среднего и
дисперсии генеральной
совокупности с
помощью выборочных
характеристик

7

Генеральная
совокупность и
случайная выборка.
Знакомство с
выборочными
характеристиками.
Оценка среднего и
дисперсии генеральной
совокупности с
помощью выборочных
характеристик

1

8

Оценивание
вероятностей событий
по выборке

1

9

Статистическая
гипотеза. Проверка
простейших гипотез с
помощью свойств

1

изученных
распределений

10

Статистическая
гипотеза. Проверка
простейших гипотез с
помощью свойств
изученных
распределений

1

11

Практическая работа с
использованием
электронных таблиц

1

12

Примеры непрерывных
случайных величин.
Функция плотности
вероятности

1

13

Равномерное
распределение.
Примеры задач,
приводящих к
показательному и к
нормальному
распределениям

1

14

Функция плотности
вероятности
показательного
распределения

1

15

Функция плотности
вероятности
нормального
распределения

1

16

Последовательность
одиночных
независимых событий.
Пример задачи,
приводящей к
распределению
Пуассона

1

17

Практическая работа с
использованием
электронных таблиц

1

18

Ковариация двух
случайных величин.
Коэффициент
корреляции

1

19

Совместные
наблюдения двух
величин

1

20

Выборочный
коэффициент
корреляции

1

21

Различие между
линейной связью и

1

причинно-следственной
связью
22

Линейная регрессия

1

23

Практическая работа с
использованием
электронных таблиц

1

24

Представление данных
с помощью таблиц и
диаграмм, описательная
статистика

1

25

Опыты с
равновозможными
элементарными
событиями

1

26

Вычисление
вероятностей событий с
применением формул

1

27

Вычисление
вероятностей событий с
применением
графических методов:
координатная прямая,
дерево, диаграмма
Эйлера

1

28

Случайные величины и
распределения

1

29

Математическое
ожидание случайной
величины

1

30

Математическое
ожидание случайной
величины

1

31

Контрольная работа:
"Вероятность и
статистика"

1

32

Вычисление
вероятностей событий с
применением формул и
графических методов

1

33

Вычисление
вероятностей событий с
применением формул и
графических методов

1

34

Случайные величины и
распределения.
Математическое
ожидание случайной
величины

1

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
ПО ПРОГРАММЕ

34

1

1

0

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС

Код
проверяемого
результата
6

Проверяемые предметные результаты освоения основной образов
среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика

6.1

Читать и строить таблицы и диаграммы

6.2

Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наиболь
размах массива числовых данных

6.3

Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайн
событие (элементарный исход) случайного опыта; находить в
равновозможными случайными событиями, находить и сравниват
изученных случайных экспериментах

6.4

Находить и формулировать события: пересечение и объединение
противоположное данному событию; пользоваться диаграммами Эйл
вероятностей при решении задач

6.5

Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые событи
помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта

6.6

Применять комбинаторное правило умножения при решении задач

6.7

Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия и
находить вероятности событий в серии независимых испытаний до
вероятности событий в серии испытаний Бернулли

6.8

Оперировать понятиями:
распределения

случайная

величина,

распределение

11 КЛАСС

Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной образов
среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика

5.1

Сравнивать вероятности значений случайной величиныпо распре
диаграмм

5.2

Оперировать понятием математического ожидания, приводить приме
математическое ожидание случайной величины, находить математиче

распределению
5.3

Иметь представление о законе больших чисел

5.4

Иметь представление о нормальном распределении

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС

Код

Проверяемый элемент содержания

6

Теория вероятностей и статистика

6.1

Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическо
наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых наб

6.2

Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные событ
случайного события. Близость частотыи вероятности событий. Случайные оп
элементарными событиями. Вероятности событий в опытахс равновозможными эл

6.3

Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные собы
Формула сложения вероятностей

6.4

Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного экспер
вероятности. Независимые события

6.5

Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетан
Формула бинома Ньютона

6.6

Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испыт
испытаний до первого успеха. Серия независимых испытаний Бернулли

6.7

Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. П
том числе геометрическоеи биномиальное

11 КЛАСС

Код

Проверяемый элемент содержания
5

Теория вероятностей и статистика

5.1

Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
отклонение. Примеры применения математического ожидания, в том числе
жизни. Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математ
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрич
распределений

5.2

Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный мет

5.3

Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределе
нормальному распределению. Понятие о нормальном распределении

ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ
ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Код проверяемого
требования

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
образовательной программы среднего общего образования

1

Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач
оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, след
доказательство, равносильные формулировки; применять их
обратное и противоположное утверждение, приводить при
использовать метод математической индукции; проводить доказ
решении задач, оценивать логическую правильность рассужде
понятиями: множество, подмножество, операции над множеств
теоретико-множественный аппарат для описания реальных пр
решении задач, в том числе из других учебных предметов; умени
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение за
различными способами; использовать графы при решении задач

2

Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое
показателем, корень натуральной степени, степень с рациональн
действительным показателем, логарифм числа, синус, косинус и та
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число
целых, рациональных, действительных чисел; умение использо
наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное, алгор
задач; знакомство с различными позиционными системами счис
вычисление значений и преобразования выражений со сте
преобразования дробно-рациональных выражений; умение
последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическа
убывающая геометрическая прогрессия; умение задавать последо
помощью рекуррентных формул; умение оперировать поняти
сопряжённые комплексные числа, модуль и аргумент комплекс
комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и
производить арифметические действия с комплексными числ
использования комплексных чисел; оперировать понятиями
определитель матрицы, геометрический смысл определителя

3

Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенс
оперировать понятиями: тождество, тождественное преобразован
система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, не

решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных п
неравенства и системы с параметром; применять уравнения, не
решения математических задач и задач из различных областей нау

4

Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
ограниченность функции, монотонность функции, экстремум
наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная фу
функции, первая и вторая производная функции, геометричес
производной, первообразная, определённый интеграл; умение на
функции; умение вычислять производные суммы, произведени
функций, находить уравнение касательной к графику фу
производные элементарных функций; умение использовать прои
функций, находить наибольшие и наименьшие значения фу
многочленов с использованием аппарата математического анализ
для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе с
физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощ
примеры математического моделирования с помощью дифференци

5

Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функ
линейная функция, квадратичная функция, рациональная фун
тригонометрические функции, обратные тригонометрические ф
логарифмическая функции; умение строить графики изученн
преобразования графиков функций, использовать графики дл
зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и
выражать формулами зависимости между величинами; использ
функций для решения уравнений, неравенств и задач с пар
координатной плоскости множества решений уравнений, неравенс

6

Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на п
движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из об
и семейными финансами); составлять выражения, уравнения, нер
условию задачи, исследовать полученное решение и оцен
результатов; умение моделировать реальные ситуации на язык
выражения, уравнения, неравенства и их системы по усло
построенные модели с использованием аппарата алгебры, инте
результат

7

Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое,
наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение
извлекать, интерпретировать информацию, представленную в
графиках, отражающую свойства реальных процессов и явлений; п
помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические
применением графических методов и электронных средств;

совместные наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линей

8

Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайн
случайного события; умение вычислять вероятность с использован
применять формулы сложения и умножения вероятностей, фор
формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценива
событий; умение оперировать понятиями: случайная величина, ра
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклоне
функции распределения и плотности равномерного, показа
распределений; умение использовать свойства изученных распред
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выбороч
приводить примеры проявления закона больших чисел в пр
явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание, перестанов
перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные
решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составл
и интерпретировать полученный результат

9

Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пр
величина угла, плоский угол, двугранный угол, трёхгранный угол
параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, у
между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстоян
расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями;
решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; ум
объектов окружающего мира; строить математические модели с
понятий и величин, решать связанные с ними практические задачи

10

Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед, пр
поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сф
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба, прямоуг
пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развёртка повер
цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара, пло
цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника, из
фигуры и поверхности вращения, их сечения, в том числе с помо
умение применять свойства геометрических фигур, самост
определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и
фигур, обосновывать или опровергать их; умение проводить
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные п

11

Умение оперировать понятиями: движение в пространстве
симметрия на плоскости и в пространстве, поворот, преобразо
фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в том ч
архитектуре; использовать геометрические отношения при р

геометрические величины (длина, угол, площадь, объём) при
учебных предметов и из реальной жизни; умение вычислять
(длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), использ
методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды, призмы,
сферы; объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур

12

Умение оперировать понятиями: прямоугольная система коорд
точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вект
вектора по базису, скалярное произведение, векторное произведен
умение использовать векторный и координатный метод для решен
задач других учебных предметов

13

Умение выбирать подходящий метод для решения задачи
математики в изучении природных и общественных проце
распознавать проявление законов математики в искусстве, ум
математических открытий российской и мировой математической

ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ

Код
1

Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления

1.1

Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

1.2

Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечн

1.3

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическим
степени

1.4

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства с

1.5

Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктанген

1.6

Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы

1.7

Действительные числа. Арифметические операции с действительными ч
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений

1.8

Преобразование выражений

1.9

Комплексные числа

2

Уравнения и неравенства

2.1

Целые и дробно-рациональные уравнения

2.2

Иррациональные уравнения

2.3

Тригонометрические уравнения

2.4

Показательные и логарифмические уравнения

2.5

Целые и дробно-рациональные неравенства

2.6

Иррациональные неравенства

2.7

Показательные и логарифмические неравенства

2.8

Тригонометрические неравенства

2.9

Системы и совокупности уравнений и неравенств

2.10

Уравнения, неравенства и системы с параметрами

2.11

Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы

3

Функции и графики

3.1

Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функ
функции. Периодические функции

3.2

Область определения и множество значений функции. Нули функции. Проме
Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. На
значение функции на промежутке

3.3

Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график.

n-ой степени
3.4

Тригонометрические функции, их свойства и графики

3.5

Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики

3.6

Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных

3.7

Последовательности, способы задания последовательностей

3.8

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов

4

Начала математического анализа

4.1

Производная функции. Производные элементарных функций

4.2

Применение производной к исследованию функций на монотонность и э
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

4.3

Первообразная. Интеграл

5

Множества и логика

5.1

Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна

5.2

Логика

6

Вероятность и статистика

6.1

Описательная статистика

6.2

Вероятность

6.3

Комбинаторика

7

Геометрия

7.1

Фигуры на плоскости

7.2

Прямые и плоскости в пространстве

7.3

Многогранники

7.4

Тела и поверхности вращения

7.5

Координаты и векторы